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Author: LiPu-jpg

README.md

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 5. 可以在 GitHub 页面的 About/Topics 中为课程添加话题名称。
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-![考试课](https://img.shields.io/badge/%E8%80%83%E8%AF%95%E8%AF%BE-red)
 ![考查课](https://img.shields.io/badge/%E8%80%83%E6%9F%A5%E8%AF%BE-green)
-![学分](https://img.shields.io/badge/%E5%AD%A6%E5%88%86-4-moccasin)
-![跨专业选修课](https://img.shields.io/badge/%E8%B7%A8%E4%B8%93%E4%B8%9A%E9%80%89%E4%BF%AE%E8%AF%BE-lightskyblue)
-![实验](https://img.shields.io/badge/%E5%AE%9E%E9%AA%8C-purple)
-![文理通识](https://img.shields.io/badge/%E6%96%87%E7%90%86%E9%80%9A%E8%AF%86-orange)
+![学分](https://img.shields.io/badge/%E5%AD%A6%E5%88%86-2-moccasin)
 
 ![成绩构成](https://img.shields.io/badge/%E6%88%90%E7%BB%A9%E6%9E%84%E6%88%90-gold)
 ![作业40%](https://img.shields.io/badge/%E4%BD%9C%E4%B8%9A-40%25-wheat)
 ![期末考试60%](https://img.shields.io/badge/%E6%9C%9F%E6%9C%AB%E8%80%83%E8%AF%95-60%25-wheat)
 
 
-## 授课教师
+## 近世代数
 
-- （教师名）
-  - 授课风格：
-  - 听课建议：
-  - ……
+本课程为 18、19 级领域限选课，20 级必修考试课，21 级专业任选课，占 2 学分。
 
-## 关于考试
+分数构成 = 40% 作业 + 60% 考试成绩
 
-## 学习建议
+### 关于教师
+
+- tll
+
+  很不错的老师，出题偏基础，但讲课很快。同时还是「集合论与图论」这门课的老师，出题风格可以参考。
+
+### 关于作业
+
+作业题都来自课本每一节后的习题，在 slide 中可见。
+
+> Note：2021 年教材网上的高等教育出版社的《近世代数》改版到第 4 版，但是 19 级上课用的教材还是第 3 版，因此买了新版书的同学可能出现作业题号对不上的情况。
+
+### 关于考试
+
+18、19 级考得很简单，作业能搞懂或者背下来就没问题了。
+
+选择填空基本上是概念题，计算题也是很基础的，证明题在课上有~~明示~~暗示过可能会考，因此可以提前复习。
+
+### Tips
+
+课程是很难的课程，涉及的概念都挺抽象的，但是过还是很容易的。
+有学长把疫情时代的雨课堂视频下载下来上传了B站，一并附上链接于此，希望同学们可以好好利用：[【直播回放】近世代数](https://www.bilibili.com/video/BV1GT4y1o7oc/)

exams/2020级近世代数_回忆版.pdf

@@ -0,0 +1,6 @@
+## 注意
+
+该目录下暂时没有最新的「官方」试卷资源，年份较早的资源仅供参考。
+
+如果你想通过其他途径获得「民间」试卷资源，可以参考 [WuuTang项目](/WuuTang项目.md)。同时，也欢迎你成为下一个贡献者！
+

exams/readme.md

@@ -0,0 +1,263 @@
+https://www.remnote.io/a/-/5P42PSM5tSLTJKjpe
+
+# 1 基本概念
+
+• 定义 —— 是什么（概念） —— 如何表示
+• 性质 —— 怎么样（特点）
+• 运算 —— 如何处理（原则性过程）
+• 定理 —— 有什么规律（规律总结）
+
+## 1.1 集合
+
+Q：对于集合 A，|A| 指的是什么？A：集合 A 的基数。
+
+Q：集合的基数是指什么？A：集合中包含的元素个数。
+
+## 1.2 映射与变换
+
+Q：两有限集 A，B 之间可以建立双射的充分必要条件是什么？A：|A|=|B|。
+
+Q：什么是集合 A 的一个变换？A：集合 A 到其自身的映射，可以是单射、满射或双射。
+
+Q：任意 n 元有限集共几个双射变换？A：n! 个。
+
+## 1.3 代数运算
+
+Q：什么是代数运算？A：在集合(M)上的法则($\circ$)，$\forall a,b \in M,\exists!d\in M:a\circ b=d$。
+
+Q：T(M)是什么？A：集合M上所有变换构成的集合。
+
+Q：S(M)是什么？A：集合M上所有双射变换构成的集合。
+
+## 1.4 运算律
+
+## 1.5 同态与同构
+
+Q：$M\sim \bar M$表示什么？A：代数系统$M$与$\bar M$同态。
+
+Q：代数系统$M$与$\bar M$同态的条件是什么？A：存在一个从代数系统$M$到$\bar M$的同态映射，且为满射。
+
+Q：什么是同态映射？A：集合M到集合($\bar{M}$)的一个映射($\varphi$)，$\exists \varphi:M\to \bar M$满足$\varphi(a\circ b)=\varphi(a)\bar \circ \varphi(b)$。
+
+Q：$M\cong\bar M$表示什么？A：代数系统$M$与$\bar M$同构。
+
+Q：代数系统$M$与$\bar M$同构的条件是什么？A：存在一个从代数系统$M$到$\bar M$的同构映射。
+
+Q：什么是同构映射？A：是一个双射的同态映射($\varphi$)
+
+## 1.6 等价关系与集合的分类
+
+# 2 群
+
+## 2.1 群的定义和初步性质
+
+Q：群是什么？A：集合对代数运算满足结合律，且有单位元和逆元，则集合对代数运算成群。
+
+Q：交换群是什么？A：群的代数运算满足交换律的群。
+
+Q：对于群 G，|G| 指的是什么？A：群 G 的阶。
+
+Q：群的阶是什么？A：群中包含的元素个数。
+
+## 2.2 群中元素的阶
+
+Q：对于群中元素 a，|a|指的是什么？A：元素 a 的阶。
+
+Q：群中元素 a 的阶是什么？A：使$a^n=e$的最小正整数 n。
+
+Q：什么是周期群？A：群中每个元素的阶都有限的群。
+
+Q：什么是无扭群？A：群中除单位元e外，其余元素的阶均无限的群。
+
+## 2.3 子群
+
+Q：设G，H是群，$H\leq G$指的是什么？A：H是G的子群。
+
+Q：群G的子群H需要满足哪些条件？A： H 是 G 的一个 非空子集，且对G的代数运算也作成一个群。
+
+Q：|G|>1，G的平凡子群是1什么？A：只由单位元e做错的子群{e}和G本身。
+
+Q：什么是中心元素？A：令 G 是一个群， G 中元素 a 如果同 G 中每个元素都可换，则称 a 是群G的一个 中心元素。
+
+Q：什么是群G的中心？A：群G的中心元素作出的一个集合C(G)，也是G的一个子群。
+
+## 2.4 循环群
+
+Q：什么是生成系？A：设M是群G的一个非空子集，G中包含M的子群总是存在，\<M\>是所有包含M的子群的交，则M是子群\<M\>的生成系。
+
+Q：什么是循环群？A：可以由一个元素生成的群。
+
+Q：什么是循环群的生成元？A：生成循环群的那个元素。
+
+## 2.5 变换群
+
+Q：什么是变换群？A：一个集合上的一些变换为元素，关于这些变换的代数运算所成的群。
+
+Q：什么是对称群？A：集合M上的双射变换群S(M为M上的对称群。
+
+## 2.6 置换群
+
+Q：什么是置换群？A：n元对称群$S_n$的任意一个子群。
+
+Q：什么是k-轮换？A：将数码$i_1$变成$i_2$，$i_2$变成$i_3$，…，$i_{k-1}$变成$i_k$，$i_k$变成$i_1$，其余数码不变的置换$\sigma$。
+
+Q：什么是对换？A：2-轮换。
+
+Q：什么是不相连轮换？A：没有公共数码的轮换。
+
+Q：什么是奇置换和偶置换？A：能分解为奇数/偶数个对换的乘积的置换。
+
+## 2.7 陪集、指数和 Lagrange 定理
+
+Q：什么是左陪集/右陪集？A：G的子集$aH=\{ax|x\in H\}$和$Ha=\{xa|x\in H\}$，H为G的一个子群，$a\in G$。
+
+Q：H是G的子群，(G:H)是指什么？A：H在G里的指数。
+
+Q：什么是子群H在群G里的指数？A：群 G 中关于子群 H 的互异的左（或右）陪集的个数。
+
+Q：Lagrange 定理的内容是什么？A：|G|=|H|(G:H)，即任何子群的阶和指数都是群 G 的阶的因数。
+
+# 3 正规子群和群的同态与同构
+
+## 3.1 群同态与同构的简单性质
+
+Q：群 G 到群 $\bar G$的同态映射 $\varphi$ 是单射的充分必要条件是什么？A：群 $\bar G$的的单位元$\bar e$ 的逆象只有 e。
+
+Q：什么是Klein四元群？A：有4个元素，除了单位元外其阶均为2，最小的非循环群。
+
+## 3.2 正规子群和商群
+
+Q：N$\unlhd$G是指什么？A：N是G的正规子群。
+
+Q：什么是正规子群？A：对G中每个元素a都有aN=Na的子群N。
+
+Q：G/N是指什么？A：G关于N的商群。
+
+Q：什么是商群？A：群 G 的正规子群 N 的全体陪集对于陪集乘法作成一个群。
+
+Q：什么是哈密顿群？A：每个子群都是正规子群的非交换群。
+
+Q：有限交换群 G 为单群的充要条件是什么？A：|G|为素数。
+
+## 3.3 群同态基本定理
+
+Q：任何群和其什么群同态？A：商群，$G \sim G / N$。
+
+Q：设$\varphi$是群 G 到群$\bar G$的一个同态映射，$Ker\varphi$ 是什么？A： $\varphi$ 的核。
+
+Q：什么是同态映射 $\varphi$ 的核？A：$\bar G$ 的单位元在 $\varphi$ 之下的所有逆像作成的集合。
+
+Q：设$\varphi$是群 G 到群$\bar G$的一个同态映射，$Im\varphi$ 是什么？A： $\varphi$ 的像集。
+
+Q：什么是同态映射 $\varphi$ 的像集？A：$G$ 中所有元在 $\varphi$ 之下的像作成的集合。
+
+Q：群同态基本定理揭示了什么规律？A：设$\varphi$是群 G 到群$\bar G$的一个同态满射，则$N=\operatorname{Ker} \varphi \unlhd G,G / N \cong \bar{G}$。
+
+Q：循环群的同态像必为什么群？A：循环群。
+
+Q：循环群的商群是什么群？A：循环群。
+
+## 3.4 群的同构定理
+
+Q：第一同构定理：设$\varphi$是群G到群$\bar G$的一个同态满射，又$Ker\varphi \subseteq N \unlhd G$，$\bar N = \varphi(N)$，则？A：$G / N \cong \bar{G} / \bar{N}$。
+
+Q：第二同构定理：设G是群，又$H\leq G,N \unlhd G$，则？A：$H\cap N \unlhd H,HN/N\cong H/(H\cap N)$。
+
+Q：第三同构定理：设G是群，又$N\unlhd G,\bar H\leq G/N$，则？A：$\exists!H\leq G:H\supseteq N \wedge \bar H = H/N$。
+
+## 3.5 群的自同构群
+
+Q：对于群G，AutG 是什么？A：群G的自同构群。
+
+Q：什么是自同构群？A：群M的全体自同构关于变换的代数运算作成的群。
+
+Q：无限循环群的自同构群是一个几阶循环群？A：2。
+
+Q：n 阶循环群的自同构群是一个几阶群？A：$\varphi(n)$，$\varphi(n)$为 Euler 函数。
+
+Q：对于群G，InnG 是什么？A：群G的内自同构群。
+
+Q：什么是内自同构？A：对于群G，$a\in G,\tau_{a}: x \rightarrow a x a^{-1}\qquad (\forall x \in G)$ 是 G的一个内自同构。
+
+Q：什么是不变子群？A：正规子群也被称为不变子群。
+
+Q：为什么正规子群被称为不变子群？A：对群G的正规子群N来说，总有$\tau_{a}(N)\subseteq N$。
+
+Q：什么是特征子群？A：对群G的所有自同构$\sigma$都不变的子群N，$\sigma(N)\subseteq N$。
+
+Q：什么是全特征子群？A：对于群G的所有自同态映射$\varphi$都不变的子群H，$\varphi(H)\subseteq H$。
+
+Q：全特征子群、特征子群、正规子群之间的关系是什么？A：$全特征子群 \subseteq 特征子群 \subseteq 正规子群$。
+
+# 4 环与域
+
+## 4.1 环的定义
+
+Q：什么是零元？A：加群的单位元。
+
+Q：什么是负元？A：加群的逆元。
+
+Q：什么是环？A：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法（一般用+表示），另一个叫做乘法，R 对加法作成一个群，对于乘法满足结合律，乘法对加法满足左右分配律，则称R对这两个代数运算作成一个环。
+
+Q：什么是环的左 or 右单位元？A：环R中有元素e，对环中每个元素a都有ea=a or ae=e，则称e为环R的一个左or右单位元。
+
+Q：什么是偶数环？A：既无左单位元又无右单位元的环。
+
+Q：什么是环R的子环？A：对R的加法域乘法也作成一个环的R的非空子集。
+
+Q：环R的非空子集S作成子环的充要条件是？A：$\begin{array}{l}a, b \in S \Rightarrow a-b \in S \\ a, b \in S \Rightarrow a b \in S\end{array}$。
+
+Q：什么是环R的加群？A：环R关于其加法作成一个加群(R,+)。
+
+Q：什么是循环环？A：环R的加群(R,+)是一个循环群，则环R是一个循环环。
+
+Q：什么样的环必为循环环？A：阶为互异素数之积的有限环。
+
+## 4.2 环的零因子和特征
+
+Q：环 R 的零因子 a 需要满足什么条件？A：存在元素 $b\neq 0$，使 $ab=0$，称 a 为 环 R 的一个 左零因子。
+
+Q：数环以及数域上的多项式环，有无零因子？A：无。
+
+Q：在无零因子的环中，关于乘法的什么律成立？A：消去律。
+
+Q：在环 R 中，若 不是左零因子，则？A：$ab=ac,a\neq 0 \Rightarrow b = c$。
+
+Q：环中有左零因子就有右零因子？A：对。
+
+Q：什么是整环？A：阶大于 1 、有单位元且无零因子的交换环。
+
+Q：环 R 的特征是什么？A：环 R 的元素（对加法）的最大阶 n。
+
+Q：char R 是啥？A：环 R 的特征。
+
+Q：只含有零元素的环，其特征是？A：1。
+
+Q：在数环中除了{0}外，其他环的特征有和特点？A：都无限。
+
+Q：设R是一个无零因子环，且|R|>1，则 R 中所有非零元素（对加法）的阶有什么特点？A：都相同。
+
+Q：设R是一个无零因子环，且|R|>1，R 的特征有限，则 R 的特征有何特点？A：为素数。
+
+Q：若环R有单位元，则 R 的特征与单位元有什么关系？A：单位元在加群(R, +)中的阶就是R的特征。
+
+## 4.3 除环和域
+
+Q：R 是除环需要满足什么条件？A：|R|>1，又R有单位元且每个非零元都有逆元。
+
+Q：除环又叫做什么？A：体。
+
+Q：可换除环称为什么？A：域。
+
+Q：除环和域没有什么？A：零因子。
+
+Q：阶数大于1的有限环若有非零因子元素，则其有什么？A：单位元。
+
+Q：阶数大于1的有限环若有非零因子元素，则每个非零因子元素都是什么？A：可逆元。
+
+Q：设R是一个有单位元的环，则R的可逆元也称为R的什么？A：单位。
+
+Q：R的全体可逆元（单位）作成的群，称为R的什么？A：乘群或单位群。
+
+Q：R 的乘群或单位群用什么表示？A：$R^*$ 或 $U(R)$。
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notes/2020_JarrettYe/近世代数note.md

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+**说明**：我是 HITSZ 20级 CS 专业的 [Xyhi](https://github.com/Xyhi/)，现将「近世代数」的期末复习笔记上传到本项目。.xmind需要下载xmind软件进行导图查看
+
+**水平有限，希望大家批评指正！**
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notes/2021_Xyhi/README.md

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+**说明**：我是 HITSZ 19级 CS 专业的 [xyfJASON](https://github.com/xyfJASON/)，现将「近世代数」的课堂笔记上传到本项目。
+
+**水平有限，如有错误，敬请指正！**
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+**版权声明**：所有内容采用 [CC BY-NC-SA 4.0](https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/) 许可协议。转载请注明来自 [xyfJASON](https://github.com/xyfJASON/).
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