概率论与数理统计

R基础

• 包管理

  install.packages() # 安装包
  library() # 导入包
  detach(package:xx) # 卸载已加载的包
  

• 赋值给变量

  a <- 3
  A <<- 6 # 强制赋值为全局变量
  b = 9   # 多作为函数参数使用

• 显示当前工作空间所有对象名称

  ls()
  ls.str() # 更加详细的显示

• 删除变量

  rm()
  rm(list = ls()) # 删除所有变量、

• 输出单个元素

  print(x, ...)

• 拼接为字符串

  paste(..., sep = ' ', collapse = NULL)
  paste0(..., collapse = NULL) # 缩减版

  • sep: 分隔符
  • collapse: 元素内部折叠坍塌，例如拼接向量1:10

• 输出多个元素，使用","分割元素

  cat("A", pi*2, ...)

• 构造向量

  c(1:10, "hello") # 同时拼接数字和字符串会成为字符串类型

• 生成数列

  m:n  # R从m到n都有,Python没有n
  seq(from = 1, to = 5, by = 2) # 增量不为1的数列
  seq(from = 0, to = 20, length.out = 5) # 指定数列数量，自动计算增量

• 生成重复值

  rep(pi, times = 5)

• 索引

  fib[c(1, 4, 9)] # 选择下表1,4,9元素
  fib[1:3] # R下标从1开始
  fib[-(1:3)] # 负数表示忽略1到3

  • 此外，R也支持类似Numpy中的使用 bool 索引

• 二元运算符

  符号	含义
  %%	取模
  %/%	取余
  %*%	矩阵乘法
  %in%	右边是否包含左边
  %>%	左侧传递给右侧 管道

• 导入数据集

  data(dsname, package = "pkgname")

• 执行R文件

  source("Script.R")

统计量

• 常用统计函数

  函数	说明	离散型	连续型
  mean(x)	平均数	$E(X)=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$	$E(X)=\int_{-oo}^{+oo}xf(x)dx$
  median(x)	中位数	-
  sd(x)	标准差	$\sqrt{D(X)}$
  var(x)	方差	$Var(X)=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-E(X))^2}{n}$
  cov(x, y)	协方差	$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
  cor(x, y)	相关系数	$r(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$

  • 忽略NA值

    x <- c(0, 1, 1, 2, 3, NA)
    sd(x, na.rm = TRUE)

• 标准化(同标准正态分布) $$\frac{X-EX}{\sqrt{DX}}$$

• k阶矩

  • k阶原点矩(简称k阶矩)
    $$ \mu_k = E(X^k) $$
  • k阶中心矩 $$E[(X-E(X))^k] = \int_{-oo}^{+oo}(x-\mu )^kf(x)dx $$

  1阶原点矩为期望，2阶中心矩为方差

  • 混合矩 $$E(X^kY^l)$$ 如上，称为$X$和$Y$的$k+l$阶混合矩. $$E([\mu_x^k][\mu_y^l])$$ 称为$X$和$Y$的$k+l$阶混合中心矩.

  • k阶标准矩 $$\frac{\mu_k}{\sigma^k} = \frac{E[(X-\mu)^k]}{(E[(X-\mu)^2])^{k/2}}$$ k阶标准矩为，k阶原点矩 比 标准差k次方，也是标准化后的结果的k次方.

• 协方差矩阵
  若随机变量$ {X_1,X_2,...,X_n}$的二阶混合中心距
  $$ c_{ij} = Cov(X_i,X_j) = E(X_iX_j)-E(X_i)E(X_j)$$
  都都存在，则得到的矩阵$C$即为随机变量${X_1,X_2,...,X_n}$的协方差矩阵，由于$c_{ij}=c_{ji}$，所以以上矩阵为一个对称矩阵.

• 偏度
  偏度（skewness）可以用来度量随机变量概率分布的不对称性。wiki
  偏度为三阶标准矩: $$\frac{\mu_3}{\sigma^3}$$

  当偏度<0时，概率分布图左偏(负偏)，左侧的尾部更长，分布的主体集中在右侧。
  当偏度=0时，表示数据相对均匀的分布在平均值两侧，不一定是绝对的对称分布。
  当偏度>0时，概率分布图右偏（正偏），右侧的尾部更长，分布的主体集中在左侧。

  

• 峰度
  峰度（Kurtosis）可以用来度量随机变量概率分布的陡峭程度。wiki
  峰度定义为四阶标准矩
  $$\frac{\mu_4}{\sigma^4}$$
  峰度的取值范围为[1,+∞)，完全服从正态分布的数据的峰度值为 3，峰度值越大，概率分布图越高尖，峰度值越小，越矮胖。
  在更通常的情况下，峰度被定义为四阶累积量除以二阶累积量的平方，它等于四阶中心矩除以概率分布方差的平方再减去3： $$\frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3$$
  这也被称为超值峰度（excess kurtosis），“减3”是为了让正态分布的峰度为0。

参数估计

点估计

区间估计

假设检验

方差分析

回归分析