综合评价方法

评价指标

指标一般可以化为四类：
(1) 极大型指标，指标越大越好
(2) 极小型指标，指标越小越好
(3) 居中型指标，指标适中最好
(4) 区间型指标，取值在某个区间内最好的指标

评价指标的筛选方法

筛选指标要根据综合评价目的，针对具体的评价对象、评价内容收集有关指标信息，采用适当的方法对指标进行筛选。

1. 专家调研法(Delphi 法)
   向专家收集意见集中的指标作为评价指标，从而建立起综合评价体系
2. 最小均方差法
   对于$n$个评价对象$S_1,S_2,...,S_n$，每个对象有$m$个指标，观测值为$a_{ij}(i=1...n, j=1...m)$
   如果n个评价对象某个观测值都差不多，那么这个指标是可以忽略的
   (1) 求出第$i$项的平均值和均方差
   $$u_j = \frac{1}{n}\sum^n_{i=1}a_{ij}, \quad s_j=\sqrt{\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}(a_{ij}-u_j)^2}, \quad j = 1,2,...,m$$ (2) 求出最小均方差
   $$s_{j_0}=min｛s_j｝$$
   (3) 如果最小均方差$s_{j_0}\approx 0$，则可删除$s_{j_0}$对应的指标x_{j_0}，对所有指标进行如上考察即可得到最终的评价体系
3. 极大极小离差法 (1) 求出第$j$项指标的最大离差
   $$d_j=max｛a_{ij}-a{kj}｝,\quad j= 1,2,...,m$$ (2) 求出最小离差 $$d_{j_0}=min｛d_j｝$$ (3) 如果最小离差$d_{j_0}\approx 0$,则可删除与$d_{j_0}$对应的指标$x_{j_0}$

指标预处理

指标的一致化处理

在评价指标体系中，可能同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标

1. 极小型指标 化为 极大型指标
   可以将极小型指标$x_j$取倒数 $$x^{'}_j = \frac{1}{x_j}$$
   或者做平移变换
   $$x^{'}j = M_j-x_j， M_j=max｛a{ij}｝$$

2. 居中型指标 化为 极大型指标
   对居中型指标$x_j$，令$M_j = max｛a_{ij}｝,m_j=min｛a_{ij}｝$，取
   $$x^{'}_j = \frac{2(x_j-m_j)}{M_j-m_j},\quad mj \leq x_j \leq \frac{M_j+m_j}{2}$$ $$x^{'}_j = \frac{2(M_j-x_j)}{M_j-m_j},\quad \frac{M_j+m_j}{2} \le x_j \leq M_j$$

3. 区间型指标 化为 极大型指标
   对于$x_j$取值属于$[b^{(1)}_j,b^{(2)}_j]$，取 $$x^'_j = 1 - \frac{b^{(1)}_j-x_j}{c_j}, \quad x_j \le b^{(1)}_j$$ $$x^'_j = 1$$ $$x^'_j = 1 - \frac{x_j-b^{(2)}_j}{c_i}

指标的无纲化处理

无纲化指将指标规范化，消除单位及数量级的影响的过程

1. 标准样本变换法 (类似概率论中标准化)
   $$a^'{ij}=\frac{a{ij}-u_j}{s_j}\quad (i \leq i \leq n,1 \leq j\leq m$$ 其中，$u_j$为均值，$s_j$为标准差

[注]：对于要求$^'a_{ij} ] \ge 0$的评价方法，该方法不适用

2. 比例变化法
   对于极大型
   $$a^'{ij}=\frac{a{ij}}{max\quad a{ij}}$$ 对于极小型 $$a^'{ij} = \frac{min\quad a{ij}}{a_{ij}}$$ 或者用1减极大型

优点：变换后属性值成比例

3. 向量归一化法